Tettpakking, krystallstrukturer og Miller-indekser

Primitive celler i bcc og fcc

Den konvensjonelle kuben rommer 2 gitterpunkter i bcc og 4 i fcc, så ingen av de to er primitive celler. De primitive cellene finnes selvsagt, men begge er romboedre. I bcc går de primitive vektorene fra et hjørne til de tre nærmeste romsentrene, i fcc til de tre nærmeste flatesentrene.

Volumet $|\vec a_1 \cdot (\vec a_2 \times \vec a_3)|$ blir $a^3/2$ for bcc og $a^3/4$ for fcc. Det stemmer med tellingen i kuben: 2 og 4 gitterpunkter per konvensjonell celle. Regningen gjør du likevel nesten alltid i kuben, for romboedrene skjuler den kubiske symmetrien.

Tettpakkede strukturer

Pakningsgraden $0{,}74$ fra fcc er den høyeste som finnes.

Grensen nås ved å stable tette lag. Legg et lag kuler så tett de kan ligge, hver med seks naboer i planet, og kall posisjonene A. Neste lag legger seg i fordypningene mellom kulene, kall dem B. For det tredje laget har du to valg: over A igjen, eller over de fordypningene B ikke brukte, kalt C.

• ABABAB gir heksagonal tettpakking (hcp).
• ABCABC gir fcc.

At ABCABC er den samme strukturen som fcc, er ikke lett å se direkte: lagene ligger normalt på kubens romdiagonal, ikke på noen av flatene. hcp er heller ikke noe eget Bravais-gitter. Lag B ser andre omgivelser enn lag A, så strukturen er det heksagonale gitteret med en basis på to atomer, på samme måte som honeycomb-nettet var det trekantede gitteret med to.

Strukturer som gitter pluss basis

For virkelige stoffer er hele beskrivelsen sjelden mer enn én linje: et Bravais-gitter og en basis med koordinater i enheter av $\vec a_1$, $\vec a_2$ og $\vec a_3$.

For et metall som natrium er basisen ett atom i origo, og da er strukturen og gitteret det samme punktmønsteret. Med to eller flere atomer i basisen skiller de lag, og det er her det er lett å gå feil.

Diamantstrukturen er fcc med to like atomer i basisen, forskjøvet en kvart romdiagonal. Hvert atom har bare 4 naboer, mot 12 i fcc, og pakningsgraden er $0{,}34$. Strukturen er altså svært åpen, og det er de rettede kovalente bindingene som holder den oppe. Silisium og germanium krystalliserer slik, og derfor går strukturen igjen i alt som handler om halvledere.

Eksamensoppgave Diamantstrukturen og steinsalt

Ordinær eksamen, mai 2016, oppgave 3 b–c

b) Silisium krystalliserer i diamantstrukturen med en gitterkonstant $a$, som vist i figuren. Hvis silisiumatomene modelleres som kuler som akkurat berører hverandre, hva er radien deres? I dette tilfellet, hvor stor fraksjon av rommet er fylt med silisiumatomer? Hvor mange nærmeste og hvor mange andre nærmeste naboatomer har hvert silisiumatom?

c) Figuren viser en enhetscelle av ‘rocksalt’ (stensalt) strukturen, her vist for NaCl. Angi Bravaisgitteret og basis for denne strukturen (du kan tegne figuren og vise atomene som tilhører basis eller skrive ned koordinatene). Hvor mange atomer (ioner) inneholder enhetscellen og basis?

Vis løsning Skjul løsning

b) Nærmeste nabo i diamantstrukturen ligger en kvart romdiagonal unna, $a\sqrt3/4$, så kulene berører hverandre når radien er $r = a\sqrt3/8$. Cellen har åtte atomer, og pakningsgraden blir

$$\begin{aligned} f &= \frac{8\cdot\tfrac43\pi r^3}{a^3} = 8\cdot\tfrac43\pi\left(\frac{\sqrt3}{8}\right)^3 \\ &= \frac{\pi\sqrt3}{16} \approx 0{,}34. \end{aligned}$$

Hvert atom har 4 nærmeste naboer. De nest nærmeste er de 12 naboene i det fcc-undergitteret atomet selv tilhører, i avstand $a/\sqrt2$.

c) Bravais-gitteret er fcc. Basisen har to ioner, Na$^+$ i $(0, 0, 0)$ og Cl$^-$ i $(\tfrac12, \tfrac12, \tfrac12)$, eller omvendt. Den konvensjonelle cellen har fire gitterpunkter, så den inneholder $4\cdot 2 = 8$ ioner: fire Na$^+$ og fire Cl$^-$.

Svar

b) $r = a\sqrt3/8$, pakningsgrad $\pi\sqrt3/16 \approx 0{,}34$, 4 nærmeste og 12 nest nærmeste naboer. c) fcc med basis Na$^+$ $(0,0,0)$ og Cl$^-$ $(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)$; 8 ioner i cellen, 2 i basisen.

Miller-indekser

Plan gjennom gitteret navngis med tre heltall $(hkl)$, kalt Miller-indekser.

1. Les av skjæringspunktene

   Finn hvor planet skjærer aksene langs $\vec a_1$, $\vec a_2$ og $\vec a_3$, målt i gitterkonstanter. Et plan parallelt med en akse skjærer den aldri; skriv $\infty$.

2. Inverter

   $h : k : l = 1/x_1 : 1/x_2 : 1/x_3$, med $1/\infty = 0$.

3. Reduser til minste heltall

   Behold forholdet. Et negativt tall skrives med strek over: $\bar 1$ betyr $-1$.

Planet som skjærer aksene i $2a$, $a$ og $a$ har inverser $\tfrac12 : 1 : 1$ og heter $(122)$. Kubens flate normalt på $\vec a_1$ skjærer i $1$, $\infty$, $\infty$ og heter $(100)$.

$(hkl)$ navngir ikke ett enkelt plan, men en familie av parallelle plan med lik avstand, som til sammen går gjennom alle gitterpunktene. Symmetrien gjør i tillegg flere familier likeverdige: kubens seks flater er $(100)$, $(010)$, $(001)$, $(\bar100)$, $(0\bar10)$ og $(00\bar1)$, og samlingen skrives $\{100\}$.

Retninger og planavstand

Retninger i krystallen skrives med hakeparenteser: $[uvw]$ er retningen $u\vec a_1 + v\vec a_2 + w\vec a_3$, redusert til minste heltall på samme måte. $\vec a_1$ peker langs $[100]$ og $-\vec a_2$ langs $[0\bar10]$.

I kubiske gitter, og bare der, står retningen $[hkl]$ normalt på planet $(hkl)$. Normalen gir også avstanden mellom naboplanene i familien ($d_{hkl} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$).

Sjekk deg selv