Formelsamling

01 Gitter og basis

$\displaystyle \vec{R} = n_1\vec{a}_1 + n_2\vec{a}_2 + n_3\vec{a}_3$ Gittervektor. $n_i$ er heltall og $\vec{a}_i$ de primitive gittervektorene. Mengden av alle $\vec{R}$ er Bravais-gitteret.
$\displaystyle \vec{r}_j = x_j\vec{a}_1 + y_j\vec{a}_2 + z_j\vec{a}_3$ Posisjonen til atom $j$ i basisen, oppgitt i relative koordinater $0 \le x_j, y_j, z_j < 1$ .

02 Enhetsceller og pakning

$\displaystyle V_c = \left|\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)\right|$ Volumet av den primitive enhetscellen. Alle valg av primitiv celle gir samme volum.
$\displaystyle N = N_\mathrm{i} + \dfrac{N_\mathrm{f}}{2} + \dfrac{N_\mathrm{k}}{4} + \dfrac{N_\mathrm{h}}{8}$ Antall atomer per enhetscelle ved deling med naboceller, i en celle med rette vinkler: indre (i) telles helt, flate (f) halvt, kant (k) kvart og hjørne (h) åttendedels. Ellers teller du den andelen av en hel omdreining hvert hjørne dekker.
$\displaystyle f = \dfrac{N \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3}{V_\text{celle}}$ Pakningsgrad (packing fraction): andelen av cellevolumet fylt av harde kuler med radius $r$ , der $N$ er antall atomer i cellen. I lukket form $\pi/6$ (sc), $\pi\sqrt3/8$ (bcc) og $\pi\sqrt2/6$ (fcc).
$\displaystyle d_\text{fcc} = \dfrac{a}{\sqrt{2}}, \qquad r = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$ Nærmeste naboavstand og hardkuleradius i et flatesentrert kubisk gitter med gitterkonstant $a$ . Kulene berører langs flatediagonalen.
$\displaystyle d_\text{bcc} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad r = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$ Nærmeste naboavstand og hardkuleradius i et romsentrert kubisk gitter. Kulene berører langs romdiagonalen.

03 Primitive celler i bcc og fcc

$\displaystyle \vec{a}_1 = \tfrac{a}{2}(\hat{x}{+}\hat{y}{-}\hat{z}), \quad \vec{a}_2 = \tfrac{a}{2}({-}\hat{x}{+}\hat{y}{+}\hat{z}), \quad \vec{a}_3 = \tfrac{a}{2}(\hat{x}{-}\hat{y}{+}\hat{z})$ Primitive gittervektorer for bcc, fra et hjørne til tre av romsentrene. Cellen er et romboeder med volum $a^3/2$ , halvparten av kuben.
$\displaystyle \vec{a}_1 = \tfrac{a}{2}(\hat{x}{+}\hat{y}), \quad \vec{a}_2 = \tfrac{a}{2}(\hat{y}{+}\hat{z}), \quad \vec{a}_3 = \tfrac{a}{2}(\hat{z}{+}\hat{x})$ Primitive gittervektorer for fcc, fra et hjørne til de tre nærmeste flatesentrene. Cellen er et romboeder med volum $a^3/4$ .

04 Symmetri

$\displaystyle 2\cos\theta = m, \qquad m \in \mathbb{Z}$ Krystallografisk begrensning. En $n$ -tellig akse er bare forenlig med translasjonssymmetri når $2\cos(2\pi/n)$ er et heltall. Siden $|2\cos\theta| \le 2$ er $m \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ , altså $n = 1, 2, 3, 4, 6$ .

05 Retninger og planavstand

$\displaystyle d_{hkl} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$ Avstanden mellom naboplan i familien $(hkl)$ i et kubisk gitter med gitterkonstant $a$ . I kubiske gitter står retningen $[hkl]$ normalt på planet $(hkl)$ .

06 Braggs lov

$\displaystyle 2d\sin\theta = n\lambda$ Braggs lov. Konstruktiv refleksjon fra en planfamilie med avstand $d$ ; vinkelen $\theta$ måles fra planet, ikke fra normalen, og heltallet $n$ er refleksjonens orden. Siden $\sin\theta \le 1$ finnes bare et endelig antall ordener.

07 Spredningsvektoren

$\displaystyle \vec{Q} = \vec{k}_f - \vec{k}_i, \qquad |\vec{Q}| = \dfrac{4\pi}{\lambda}\sin\theta$ Spredningsvektoren. Ved elastisk spredning er $|\vec{k}_f| = |\vec{k}_i| = 2\pi/\lambda$ , og $2\theta$ er vinkelen mellom innfallende og spredt stråle.
$\displaystyle F(\vec{Q}) = \int \rho(\vec{r})\, e^{i\vec{Q}\cdot\vec{r}}\, \mathrm{d}V$ Spredningsamplituden: bidraget fra hvert volumelement, summert med faseforskjellen $\vec{Q}\cdot\vec{r}$ . Dette er Fourier-transformen av spredningstettheten. Detektoren måler intensiteten $I \propto |F|^2$ , så fasen går tapt.

08 Det resiproke gitteret

$\displaystyle \rho(\vec{r}) = \sum_{\vec{G}} \rho_{\vec{G}}\, e^{i\vec{G}\cdot\vec{r}}$ En gitterperiodisk tetthet skrevet som Fourier-rekke. Bare bølgevektorer på det resiproke gitteret bidrar; alle andre bryter periodisiteten $\rho(\vec{r} + \vec{R}) = \rho(\vec{r})$ .
$\displaystyle \vec{b}_1 = 2\pi\,\dfrac{\vec{a}_2 \times \vec{a}_3}{\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)} \;\; \text{(og syklisk)}, \qquad \vec{a}_i \cdot \vec{b}_j = 2\pi\,\delta_{ij}$ De primitive vektorene for det resiproke gitteret. $\vec{b}_1$ står normalt på både $\vec{a}_2$ og $\vec{a}_3$ , og lengden skalerer som $2\pi$ delt på en gitteravstand: et stort direkte gitter gir et lite resiprokt.

09 Diffraksjonsbetingelsen

$\displaystyle \vec{Q} = \vec{G}$ Diffraksjonsbetingelsen (Laue): sterk spredning bare når spredningsvektoren treffer et resiprokt gitterpunkt. Da er $F = V\rho_{\vec{G}}$ ; ellers er $F \approx 0$ . Ekvivalent med Braggs lov.
$\displaystyle d_{hkl} = \dfrac{2\pi}{|\vec{G}_{hkl}|}, \qquad \vec{G}_{hkl} = h\vec{b}_1 + k\vec{b}_2 + l\vec{b}_3$ $\vec{G}_{hkl}$ står normalt på planfamilien $(hkl)$ , og den korteste slike gir planavstanden. Gjelder i alle gitre; i kubiske reduseres den til $d_{hkl} = a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}$ .

10 Diffraksjonsmetoder

$\displaystyle \sin^2\theta = \dfrac{\lambda^2}{4a^2}\left(h^2 + k^2 + l^2\right)$ Ringvinklene i et pulverbilde av et kubisk gitter, fra Braggs lov med $d_{hkl} = a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}$ . Ringene ligger etter $h^2+k^2+l^2$ , og hvilke som faktisk vises, avgjør strukturfaktoren.

11 Strukturfaktoren

$\displaystyle S_{hkl} = \sum_j f_j\, e^{2\pi i (hx_j + ky_j + lz_j)}$ Strukturfaktoren: summen over atomene i basisen, hvert med sin atomformfaktor $f_j$ og fasen fra posisjonen $(x_j, y_j, z_j)$ i relative koordinater. Amplituden fra hele krystallen er $N$ celler ganger $S$ , og intensiteten er $I \propto |S_{hkl}|^2$ .
$\displaystyle f_j(\vec{Q}) = \int \rho_j(\vec{r})\, e^{i\vec{Q}\cdot\vec{r}}\, \mathrm{d}V$ Atomformfaktoren: Fourier-transformen av elektrontettheten i ett atom. Den er lik antall elektroner for $\vec Q = 0$ og avtar med økende $|\vec Q|$ , så reflekser ved store vinkler er svakere.

12 Systematiske utslukkinger

$\displaystyle \begin{aligned} S_{hkl} &= f\left[1 + e^{i\pi(h+k+l)}\right] \\ &= \begin{cases} 2f & h+k+l \text{ partall} \\ 0 & h+k+l \text{ oddetall} \end{cases} \end{aligned}$ Strukturfaktoren for bcc regnet i den konvensjonelle kuben, med like atomer i $(0,0,0)$ og $(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)$ . Utvalgsregel: bare reflekser med $h+k+l$ partall.
$\displaystyle S_{hkl} = f\bigl[1 + e^{i\pi(h+k)} \allowbreak + e^{i\pi(h+l)} + e^{i\pi(k+l)}\bigr]$ Strukturfaktoren for fcc i den konvensjonelle kuben, med atomer i $(0,0,0)$ , $(\tfrac12,\tfrac12,0)$ , $(\tfrac12,0,\tfrac12)$ og $(0,\tfrac12,\tfrac12)$ . Den er $4f$ når $h, k, l$ er alle partall eller alle oddetall, og $0$ ellers.

13 Brillouin-soner

$\displaystyle \vec{k}\cdot\tfrac{1}{2}\vec{G} = \left(\tfrac{1}{2}G\right)^2$ Diffraksjonsbetingelsen $\vec Q = \vec G$ skrevet om for den innfallende bølgevektoren. Den er oppfylt for alle $\vec k$ som ender på planet som halverer $\vec G$ normalt, og disse planene er grensene til Brillouin-sonene.

14 Van der Waals-binding

$\displaystyle U(r) = 4\varepsilon\left[\left(\dfrac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\dfrac{\sigma}{r}\right)^{6}\right]$ Lennard-Jones-potensialet mellom to edelgassatomer. Leddet $-r^{-6}$ er tiltrekningen mellom induserte dipoler, leddet $+r^{-12}$ er frastøtningen når elektronskyene overlapper (Pauli-prinsippet). $\varepsilon$ er dybden av brønnen, $\sigma$ er avstanden der $U = 0$ , og minimum ligger i $r = 2^{1/6}\sigma$ .
$\displaystyle U_\text{tot} = 2N\varepsilon\left[A_{12}\left(\dfrac{\sigma}{R}\right)^{12} - A_6\left(\dfrac{\sigma}{R}\right)^{6}\right]$ Total energi for $N$ edelgassatomer, med $R$ som nærmeste naboavstand. Gittersummene $A_n = \sum_j p_j^{-n}$ over avstandene $p_j R$ til de andre atomene avhenger bare av gittertypen; for fcc er $A_{12} = 12{,}13$ og $A_6 = 14{,}45$ . Likevekt ved $R_0 = 1{,}09\,\sigma$ , der $U_\text{tot} = -8{,}6\,N\varepsilon$ .

15 Ionisk binding

$\displaystyle U_\text{tot} = N\left(z\lambda\, e^{-R/\rho} - \dfrac{\alpha q^2}{4\pi\varepsilon_0 R}\right)$ Total energi for en ionekrystall med $N$ ionpar og nærmeste naboavstand $R$ . Frastøtningen $\lambda e^{-R/\rho}$ tas med for de $z$ nærmeste naboene, med $\lambda$ og $\rho$ som empiriske parametere. Coulomb-leddet summerer over hele krystallen gjennom Madelung-konstanten $\alpha$ , og kalles alene Madelung-energien.
$\displaystyle \alpha = \sum_j \dfrac{(\pm)}{p_{ij}}$ Madelung-konstanten: summen over alle andre ioner $j$ i krystallen, med $p_{ij}R$ som avstanden fra referanseionet $i$ , pluss for motsatt ladning og minus for samme. Den er $1{,}7476$ for NaCl, $1{,}7627$ for CsCl og $1{,}6381$ for ZnS. Rekken konvergerer bare når den summeres i nøytrale grupper.
$\displaystyle U_\text{tot}(R_0) = -\dfrac{N\alpha q^2}{4\pi\varepsilon_0 R_0}\left(1 - \dfrac{\rho}{R_0}\right)$ Energien til en ionekrystall ved likevektsavstanden $R_0$ , fra $\mathrm{d}U_\text{tot}/\mathrm{d}R = 0$ . Frastøtningen reduserer Madelung-energien med andelen $\rho/R_0 \approx 0{,}1$ . For NaCl gir $R_0 = 2{,}82$ Å og $\rho = 0{,}32$ Å $7{,}9$ eV per ionpar, som målt.

16 Gittersvingninger

$\displaystyle \omega(k) = 2\sqrt{\dfrac{C}{M}}\,\left|\sin\dfrac{ka}{2}\right|$ Dispersjonsrelasjonen for en kjede av atomer med masse $M$ i avstand $a$ , med kraftkonstant $C$ mellom nærmeste naboer. Kraftkonstanten skrives også $K$ eller $\gamma$ . $\omega$ er periodisk i $k$ med periode $2\pi/a$ , så alle svingninger ligger i første Brillouin-sone $-\pi/a < k \le \pi/a$ , og maksimum $2\sqrt{C/M}$ er på sonegrensen.
$\displaystyle v = \dfrac{\omega}{k} = a\sqrt{\dfrac{C}{M}}, \qquad v_g = \dfrac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk}$ Lydhastigheten i kjeden, fra grensen $ka \ll 1$ der $\omega \approx vk$ , og gruppehastigheten, som er hastigheten til et signal. For lange bølger er de like; på sonegrensen $k = \pi/a$ er $v_g = 0$ og bølgen står stille.
$\displaystyle \begin{aligned} &\omega^2 = C\frac{M_1 + M_2}{M_1 M_2}\times \\ &\bigl[1 \pm \sqrt{1 - \tfrac{4M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2}\sin^2\!\tfrac{ka}{2}}\bigr] \end{aligned}$ Dispersjonsrelasjonen for en kjede med to atomtyper $M_1 > M_2$ per celle og samme kraftkonstant $C$ . Plusstegnet gir den optiske grenen, som starter på $\omega^2 = 2C(1/M_1 + 1/M_2)$ ved $k = 0$ ; minustegnet gir den akustiske, som går som $\omega \propto k$ . På sonegrensen er $\omega^2 = 2C/M_1$ og $2C/M_2$ , og mellom dem er det et gap uten løsninger.
$\displaystyle \begin{aligned} \omega_\text{op}^2(0) &= 2C\left(\dfrac{1}{M_1} + \dfrac{1}{M_2}\right) \\ v &= a\sqrt{\dfrac{C}{2(M_1 + M_2)}} \end{aligned}$ Kjeden med to atomtyper ved $k \to 0$ : frekvensen i den optiske grenen og lydhastigheten i den akustiske. Hvert atom har en fjær på hver side, så den optiske frekvensen er $\sqrt 2$ ganger frekvensen $\sqrt{C/\mu}$ til ett atompar med én fjær.

17 Fononer

$\displaystyle \begin{aligned} E_n(k) &= \left(n + \tfrac12\right)\hbar\omega(k) \\ \vec p &= \hbar\vec k \end{aligned}$ Energien i gittersvingningen med bølgevektor $k$ og $n$ fononer, med nullpunktsenergien $\tfrac12\hbar\omega$ , og krystallimpulsen til et fonon. Fononer er bosoner, så $n$ kan være vilkårlig stor. Den fysiske impulsen til en svingning med $k \ne 0$ er null.

18 Varmekapasitet

$\displaystyle \langle n \rangle = \dfrac{1}{e^{\hbar\omega/k_BT} - 1}$ Planck-fordelingen: middelantallet fononer i en svingning med frekvens $\omega$ ved temperaturen $T$ . Middelenergien er $\hbar\omega\langle n \rangle$ , som er $k_BT$ for $\hbar\omega \ll k_BT$ og eksponentielt liten for $\hbar\omega \gg k_BT$ .
$\displaystyle \begin{aligned} C_V &= 3Nk_B\,\frac{x^2 e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^2} \\ x &= \frac{\theta_E}{T} = \frac{\hbar\omega_E}{k_BT} \end{aligned}$ Varmekapasiteten i Einstein-modellen, der alle $3N$ svingninger har frekvensen $\omega_E$ og $\theta_E = \hbar\omega_E/k_B$ . Går mot $3Nk_B$ (Dulong-Petit) for $T \gg \theta_E$ og eksponentielt mot null for $T \ll \theta_E$ .

19 Tilstandstettheten

$\displaystyle \begin{aligned} k &= \frac{2\pi}{L}\,m \\ m &= 0, \pm1, \pm2, \dots \end{aligned}$ De tillatte bølgevektorene i en kjede med lengde $L = Na$ og periodiske grensebetingelser $u_{n+N} = u_n$ . Avstanden er $\Delta k = 2\pi/L$ , og første Brillouin-sone rommer $N$ verdier. I tre dimensjoner tar hver svingning volumet $(2\pi/L)^3$ i $k$ -rommet.
$\displaystyle D(\omega) = \dfrac{L}{\pi}\,\dfrac{1}{\mathrm d\omega/\mathrm dk}$ Tilstandstettheten i én dimensjon: antall svingninger per frekvensenhet, med faktoren 2 for $\pm k$ regnet inn. Den divergerer der gruppehastigheten er null. For kjeden med én atomtype er $D = (2N/\pi)/\sqrt{\omega_m^2 - \omega^2}$ .
$\displaystyle N(k) = \dfrac{V k^3}{6\pi^2}$ Antall svingninger med bølgevektor mindre enn $k$ i en krystall med volum $V$ , per polarisasjon: kulevolumet $4\pi k^3/3$ delt på volumet $(2\pi)^3/V$ per svingning. Tilstandstettheten er $D(\omega) = \mathrm dN/\mathrm d\omega$ .

20 Debye-modellen

$\displaystyle D(\omega) = \dfrac{V\omega^2}{2\pi^2 v^3}, \qquad \omega \le \omega_D$ Tilstandstettheten i Debye-modellen, per polarisasjon, fra $\omega = vk$ for alle $k$ . De optiske grenene er ikke med. Parabelen stopper ved $\omega_D$ , som gir $N$ svingninger per polarisasjon.
$\displaystyle \begin{aligned} \omega_D &= v\left(\frac{6\pi^2 N}{V}\right)^{1/3} \\ \theta_D &= \frac{\hbar\omega_D}{k_B} \end{aligned}$ Debye-frekvensen, fra $\int_0^{\omega_D} D\,\mathrm d\omega = N$ , og Debye-temperaturen: der $k_BT$ er lik den høyeste fononenergien i modellen. Bly 105 K, kobber 343 K, silisium 645 K, diamant 2230 K.
$\displaystyle \begin{aligned} C_V &= \frac{12\pi^4}{5}\,Nk_B\left(\frac{T}{\theta_D}\right)^3 \\ &\approx 234\,Nk_B\left(\frac{T}{\theta_D}\right)^3 \end{aligned}$ Debyes $T^3$ -lov, gyldig for $T$ under omtrent $\theta_D/50$ . Fra $U = 9Nk_BT\,(T/\theta_D)^3\int_0^{\theta_D/T} x^3\,\mathrm dx/(e^x - 1)$ med integralet $\pi^4/15$ når $T \to 0$ . Bare andelen $(T/\theta_D)^3$ av svingningene er eksitert, hver med energi omtrent $k_BT$ . For $T \gg \theta_D$ gir samme integral $3Nk_B$ .

21 Drude-modellen

$\displaystyle \sigma = \dfrac{ne^2\tau}{m}$ Ledningsevnen i Drude-modellen, fra drifthastigheten $\langle\vec v\rangle = -e\tau\vec E/m$ og $\vec j = -ne\langle\vec v\rangle = \sigma\vec E$ . $n$ er tettheten av ledningselektroner og $\tau$ relaksasjonstiden, middeltiden mellom to kollisjoner. Gjelder også i fri-elektronmodellen.

22 Hall-effekten

$\displaystyle R_H = \dfrac{E_y}{j_xB_z} = -\dfrac{1}{ne}$ Hall-koeffisienten, fra likevekten der Hall-feltet $E_y$ opphever den magnetiske kraften på bærerne. Negativ for elektroner, positiv for positive bærere. Gir tettheten $n$ uten å kjenne $\tau$ .

23 Varmeledning

$\displaystyle K = \tfrac13\,Cv\ell, \qquad \ell = v\tau$ Varmeledningsevnen fra kinetisk gassteori. $C$ er varmekapasiteten per volum, $v$ farten og $\ell$ den frie veilengden. For ledningselektronene er $v = v_F$ , fordi bare elektronene nær Fermi-energien tar opp varme.
$\displaystyle \dfrac{K}{\sigma T} = L = \dfrac{\pi^2}{3}\left(\dfrac{k_B}{e}\right)^2$ Wiedemann-Franz’ lov med Lorenz-tallet fra fri-elektronmodellen, $L = 2{,}44 \cdot 10^{-8}$ W Ω/K². Både $n$ og $\tau$ faller bort. Drude-modellen gir $(4/\pi)(k_B/e)^2 = 0{,}95 \cdot 10^{-8}$ W Ω/K².

24 Fri elektrongass

$\displaystyle f(\varepsilon) = \dfrac{1}{e^{(\varepsilon - \mu)/k_BT} + 1}$ Fermi-Dirac-fordelingen: sannsynligheten for at en tilstand med energi $\varepsilon$ er besatt. $\mu$ er det kjemiske potensialet, lik $\varepsilon_F$ ved $T = 0$ . Ved $T = 0$ er $f$ et trappetrinn, og ved $T > 0$ rundes det av over noen få $k_BT$ .
$\displaystyle k_F = \left(3\pi^2 n\right)^{1/3}$ Fermi-bølgevektoren, radien i Fermi-kula, fra $N = 2\cdot(L/2\pi)^3\cdot\tfrac43\pi k_F^3$ : to spinn per tillatt $\vec k$ i en kube med volum $V = L^3$ . Avhenger bare av elektrontettheten $n = N/V$ .
$\displaystyle \varepsilon_F = \dfrac{\hbar^2 k_F^2}{2m} = \dfrac{\hbar^2}{2m}\left(3\pi^2 n\right)^{2/3}$ Fermi-energien for frie elektroner, skrives også $E_F$ . Noen få eV i metaller: 3,2 eV i natrium, 7,0 eV i kobber og 11,7 eV i aluminium.
$\displaystyle v_F = \dfrac{\hbar k_F}{m}, \qquad T_F = \dfrac{\varepsilon_F}{k_B}$ Fermi-hastigheten og Fermi-temperaturen. $v_F$ er rundt $10^6$ m/s og $T_F$ $10^4$ til $10^5$ K i metaller, så $T \ll T_F$ ved alle temperaturer et metall kan ha. Kobber: $v_F = 1{,}57 \cdot 10^6$ m/s og $T_F = 82\,000$ K.
$\displaystyle D(\varepsilon) = \dfrac{V}{2\pi^2}\left(\dfrac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{\varepsilon} \allowbreak = \dfrac{3N}{2\varepsilon_F}\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_F}}$ Tilstandstettheten for frie elektroner i tre dimensjoner, med begge spinnretninger, fra $N(\varepsilon) = N(\varepsilon/\varepsilon_F)^{3/2}$ . Antallet elektroner i $\mathrm d\varepsilon$ er $D(\varepsilon)f(\varepsilon)\,\mathrm d\varepsilon$ . I to dimensjoner er $D$ konstant.

25 Elektronenes varmekapasitet

$\displaystyle C_\text{el} = \dfrac{\pi^2}{2}\,Nk_B\,\dfrac{T}{T_F}$ Varmekapasiteten til elektrongassen for $T \ll T_F$ . Bare elektronene innenfor omtrent $k_BT$ fra $\varepsilon_F$ tar opp energi, rundt én prosent av den klassiske verdien $\tfrac32 Nk_B$ ved romtemperatur. I et metall ved lav temperatur er $C = \gamma T + AT^3$ , med gitterleddet fra Debyes $T^3$ -lov.

26 Røntgendiffraksjon i laben

$\displaystyle E = \dfrac{hc}{\lambda}$ Energien til et foton med bølgelengde $\lambda$ . Med $\lambda$ i ångström gir $hc = 12{,}398$ keV Å energien i keV. Mo $K_\alpha$ -linjen i røntgenlaben har $\lambda = 0{,}7093$ Å, altså $E = 17{,}5$ keV.
$\displaystyle \dfrac{\Delta d}{d} = \dfrac{\Delta a}{a} = -\dfrac{\Delta\theta}{\tan\theta}$ Hvordan en feil $\Delta\theta$ i vinkelen slår ut i planavstanden og gitterkonstanten, fra derivasjon av Braggs lov. $\Delta\theta$ er i radianer og halvparten av feilen i $2\theta$ . Samme vinkelfeil gir størst feil i $d$ ved små vinkler.
$\displaystyle t \approx \dfrac{0{,}9\,\lambda}{\beta\cos\theta}$ Scherrer-formelen: krystallittstørrelsen $t$ fra bredden $\beta$ av en topp, målt som full bredde ved halv høyde i radianer på $2\theta$ -skalaen. Den gjelder når krystallittene er så små at de bestemmer bredden; bredden instrumentet gir, må trekkes fra først.

27 Elektronmikroskopi

$\displaystyle \lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2meV\left(1 + \dfrac{eV}{2mc^2}\right)}}$ Bølgelengden til elektroner akselerert gjennom spenningen $V$ . Parentesen er den relativistiske korreksjonen: $mc^2 = 511$ keV, så $eV/2mc^2 = 0{,}20$ ved 200 kV, der $\lambda = 2{,}51$ pm.
$\displaystyle R_{hkl}\, d_{hkl} = \lambda L$ Kameralikningen. $R_{hkl}$ er avstanden fra sentrum til refleksen $hkl$ på diffraksjonsbildet, og $L$ er kameralengden. Den følger av Braggs lov for små vinkler, $2\theta \approx R_{hkl}/L$ og $2\theta \approx \lambda/d_{hkl}$ . Kamerakonstanten $\lambda L$ kalibreres med en kjent krystall.
$\displaystyle \cos\varphi = \dfrac{h_1h_2 + k_1k_2 + l_1l_2}{|\vec g_1|\,|\vec g_2|}$ Vinkelen mellom refleksene $h_1k_1l_1$ og $h_2k_2l_2$ i et kubisk gitter, sett fra sentrum av diffraksjonsbildet, med $|\vec g_i| = \sqrt{h_i^2 + k_i^2 + l_i^2}$ . Forholdet mellom avstandene er $R_1/R_2 = d_2/d_1 = |\vec g_1|/|\vec g_2|$ .
$\displaystyle \begin{aligned} &[UVW] \parallel \vec g_1 \times \vec g_2 \\ &hU + kV + lW = 0 \end{aligned}$ Soneaksen er retningen elektronstrålen går langs gjennom krystallen. I et kubisk gitter finnes den som kryssproduktet av to reflekser i bildet, regnet med indeksene. Hver refleks $hkl$ i bildet oppfyller Weiss' sonelov i andre linje.

28 Infrarød spektroskopi

$\displaystyle \sigma = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{\nu}{c}, \qquad \omega = 2\pi c\,\sigma$ Bølgetallet i IR-spektroskopi, uten faktoren $2\pi$ som bølgevektoren $k = 2\pi/\lambda$ har. Med $\sigma$ i cm $^{-1}$ må $c$ være i cm/s. 1000 cm $^{-1}$ svarer til $\lambda = 10$ µm og en fotonenergi på 0,124 eV.
$\displaystyle I(\nu) = \dfrac{2h\nu^3/c^2}{e^{h\nu/k_BT} - 1}$ Plancks strålingslov: effekten et svart legeme stråler ut per flate, romvinkel og frekvensenhet, i W m $^{-2}$ sr $^{-1}$ Hz $^{-1}$ . Nevneren er den samme som i Planck-fordelingen for fononer.
$\displaystyle \begin{aligned} \nu_\text{maks} &= 5{,}879 \cdot 10^{10}\ \tfrac{\text{Hz}}{\text{K}}\cdot T \\ \sigma_\text{maks} &= 1{,}961\ \tfrac{\text{cm}^{-1}}{\text{K}}\cdot T \end{aligned}$ Wiens forskyvningslov for toppen av $I(\nu)$ . Fordelingen per bølgelengde har toppen et annet sted, ved $\lambda_\text{maks}T = 2{,}898$ mm K, og $1/\lambda_\text{maks}$ er 1,76 ganger $\sigma_\text{maks}$ .
$\displaystyle \pi\int_0^\infty I(\nu)\,\mathrm d\nu = \sigma_\text{SB}\,T^4$ Stefan-Boltzmanns lov: den totale effekten et svart legeme stråler ut per flate. Faktoren $\pi$ kommer av integralet over halvkulen, og $\sigma_\text{SB} = 2\pi^5k_B^4/15c^2h^3 = 5{,}67 \cdot 10^{-8}$ W m $^{-2}$ K $^{-4}$ .
$\displaystyle 3N - 6$ Antall svingninger i et fritt molekyl med $N$ atomer: $3N$ koordinater minus 3 for translasjon og 3 for rotasjon. Et lineært molekyl har bare to rotasjoner og derfor $3N - 5$ svingninger. I en krystall med periodiske grensebetingelser trekkes ingenting fra, og $N$ celler med $s$ atomer gir $3Ns$ svingninger.
$\displaystyle \omega = \sqrt{\dfrac{C}{\mu}}, \qquad \mu = \dfrac{M_1M_2}{M_1 + M_2}$ Frekvensen til to atomer bundet med én fjær med kraftkonstant $C$ , med den reduserte massen $\mu$ . Snudd rundt gir den kraftkonstanten fra et målt bølgetall, $C = \mu(2\pi c\sigma)^2$ .