Honeycomb-strukturen (grafén) er best beskrevet som …

et heksagonalt Bravais-gitter med en basis på to atomer

et kvadratisk Bravais-gitter med en basis på tre atomer

et sentrert rektangulært Bravais-gitter

Krystallgitter, basis og symmetri

Gitter og basis

Et fast stoff har $\sim 10^{23}$ atomer. At det likevel lar seg regne på, skyldes periodisiteten: kjenner du én bit og gjentakelsesmønsteret, kjenner du hele stoffet. Beskrivelsen skjer i to steg som holdes fra hverandre.

Ingenting krever at et gitterpunkt er et atom. Det kan like gjerne ligge i tomrommet mellom atomer. Gitteret svarer på hvordan mønsteret gjentas, basisen på hva som gjentas.

De primitive gittervektorene genererer punktene med heltallige koeffisienter:

\displaystyle \vec{R} = n_1\vec{a}_1 + n_2\vec{a}_2 + n_3\vec{a}_3

Gittervektoren

\vec R

, der

n_i

er heltall. Mengden av alle slike

\vec R

utgjør Bravais-gitteret.

Denne formuleringen er den praktiske testen: finner du to punkter med ulike omgivelser, er mønsteret ikke et Bravais-gitter.

Enhetsceller

En enhetscelle fyller rommet uten hull eller overlapp når den gjentas med alle $\vec R$ . To valg er i bruk.

Primitiv celle

Inneholder nøyaktig ett gitterpunkt.
Minst mulig volum, $V_c = \left|\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)\right|$ .
Valget av primitive vektorer er ikke entydig, men volumet blir det samme uansett hvilket sett du velger.
Ofte skjev, og viser sjelden symmetrien.

Konvensjonell celle

Inneholder gjerne flere gitterpunkter (fcc: 4, bcc: 2).
Et helt antall primitive celler.
Valgt fordi den viser symmetrien, typisk en kube.
Den du regner og tegner med.

Plansjene merker fcc, bcc og de sentrerte cellene «non-primitive cell» av denne grunnen. En tredje variant, Wigner–Seitz-cellen, er både primitiv og symmetrisk, og kommer tilbake under det resiproke gitteret.

De 5 gittertypene i 2D

De fem 2D-gitrene er fem områder i ett parameterrom: lengdene $|\vec a_1|, |\vec a_2|$ og vinkelen $\varphi$ . Slå på Sentrert i hvert av dem.

2D-gitter

Fylte punkter er gitterpunkter, ringene er sentreringspunktene. De stiplede vektorene er de primitive vektorene i det sentrerte tilfellet.

De fem 2D-Bravais-gitrene, ordnet etter økende symmetri.
Gittertype	Betingelser
Skjevt (oblique)	$\|a_1\| \neq \|a_2\|,\ \varphi \neq 90^\circ$
Rektangulært	$\|a_1\| \neq \|a_2\|,\ \varphi = 90^\circ$
Sentrert rektangulært	som over, $+$ punkt i cellemidten
Kvadratisk	$\|a_1\| = \|a_2\|,\ \varphi = 90^\circ$
Heksagonalt	$\|a_1\| = \|a_2\|,\ \varphi = 120^\circ$

Basis

Atom $j$ i basisen oppgis relativt til gitterpunktet:

\displaystyle \vec{r}_j = x_j\vec{a}_1 + y_j\vec{a}_2 + z_j\vec{a}_3

Basisposisjonen, med

0 \le x_j, y_j, z_j < 1

. Basisen kan telle alt fra ett atom til flere tusen.

Widgeten holder gitteret fast heksagonalt og lar bare basisen endres.

Gitter + basis

Krysshåret i midtpanelet markerer gitterpunktet. Skyv forskyvningen til 1 for honeycomb-strukturen.

Med to like atomer og forskyvning 1 får du honeycomb. Bruk testen over: står du på ett atom, peker bindingene én vei, står du på naboen, peker de motsatt.

De 14 Bravais-gitrene i 3D

Tre lengder $a, b, c$ og tre vinkler $\alpha, \beta, \gamma$ gir 7 krystallsystemer. Med sentreringene blir det 14 gitre.

I widgeten er sliderne låst der systemet krever det. I kubisk lar ingenting seg endre, i triklin alt.

3D-gitter

Dra i cellen for å snu på den. Blå kuler er hjørnepunkter, grønne er sentreringspunkter. P = primitiv, C = basesentrert, I = romsentrert, F = flatesentrert, R = romboedrisk.

De 7 krystallsystemene, ordnet etter økende symmetri.
Krystallsystem	Betingelser	Sentreringer	Antall
Triklin	$a \neq b \neq c;\ \alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^\circ$	P	1
Monoklin	$a \neq b \neq c;\ \alpha = \gamma = 90^\circ \neq \beta$	P, C	2
Ortorombisk	$a \neq b \neq c;\ \alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$	P, C, I, F	4
Tetragonal	$a = b \neq c;\ \alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$	P, I	2
Trigonal	$a = b = c;\ \alpha = \beta = \gamma < 120^\circ, \neq 90^\circ$	R	1
Heksagonal	$a = b \neq c;\ \alpha = \beta = 90^\circ, \gamma = 120^\circ$	P	1
Kubisk	$a = b = c;\ \alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$	P, I, F	3

De kubiske gitrene går igjen oftest. Atomer deles med nabocellene, så tellingen følger hvor i cellen de sitter:

\displaystyle N = N_\mathrm{i} + \dfrac{N_\mathrm{f}}{2} + \dfrac{N_\mathrm{k}}{4} + \dfrac{N_\mathrm{h}}{8}

Indre atomer telles helt, flateatomer halvt, kantatomer kvart og hjørneatomer åttendedels.

Regneeksempel atomer per celle og pakningsgrad for fcc

Hvor mange atomer hører til den konvensjonelle fcc-cellen, og hvilken pakningsgrad gir det?

Vis løsning Skjul løsning

Telling.

Hjørner: $8 \times \tfrac18 = 1$ . Flatesentre: $6 \times \tfrac12 = 3$ , altså $N = 4$ .

Hardkuleradius.

Nærmeste naboer berører hverandre langs flatediagonalen, som har lengde $a\sqrt2$ og rommer fire radier: $4r = a\sqrt2$ , så $r = \dfrac{a\sqrt2}{4}$ .

Pakningsgrad.

$f = \dfrac{4 \cdot \tfrac43 \pi r^3}{a^3} = \dfrac{16\pi}{3}\left(\dfrac{\sqrt2}{4}\right)^3 = \dfrac{\pi\sqrt2}{6} \approx 0{,}74$

Svar

N = 4

atomer per celle,

f = \pi\sqrt2/6 \approx 0{,}74

Bcc gir $N = 2$ og $f \approx 0{,}68$ , med berøring langs romdiagonalen ( $d_\text{bcc} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad r = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$ ) i stedet for flatediagonalen ( $d_\text{fcc} = \dfrac{a}{\sqrt{2}}, \qquad r = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$ ).

Nøkkeltall for de kubiske gitrene. Høyere koordinasjonstall gir tettere pakking.
Gitter	Atomer per celle	Koordinasjonstall	Pakningsgrad
Enkel kubisk (sc)	1	6	$0{,}52$
Romsentrert (bcc)	2	8	$0{,}68$
Flatesentrert (fcc)	4	12	$0{,}74$

Symmetri

En symmetrioperasjon fører krystallen tilbake til noe som ikke lar seg skille fra utgangspunktet. Fire er aktuelle her: translasjon, speiling, inversjon og rotasjon. Motivet i widgeten er asymmetrisk begge veier, så speiling og $180^\circ$ -rotasjon gir synlig ulike bilder.

Symmetri

Sliderne fører operasjonen fra 0 til 1. Under Rotasjon vises også flislegningstesten: hvor mange regulære n-kanter som møtes i ett hjørne, og hvor stort gap som blir til overs.

De fire symmetrioperasjonene fra Kittel §1.2.
Operasjon	Symbol	Virkning
Translasjon	$\vec R$	Forskyvning med en gittervektor. Definerer «krystallinsk».
Speiling	$m$	Invarians om et plan, i 2D en linje.
Inversjon	$\bar 1$	$\vec r \to -\vec r$ om et senterpunkt. I 2D det samme som $180^\circ$ -rotasjon, i 3D ikke.
Rotasjon	$n$	Rotasjon $360^\circ/n$ om en akse.

Sjekk deg selv

Et gitter har $|a_1| = |a_2|$ og $\varphi = 90^\circ$ . Du legger et punkt midt i hver celle. Hvilken av de fem 2D-gittertypene har du nå?

Vis svar Skjul svar

Fortsatt et kvadratisk gitter. De nye primitive vektorene går fra et hjørne til de to nærmeste sentreringspunktene, er like lange og står vinkelrett på hverandre. Resultatet er et kvadratisk gitter med gitterkonstant $a/\sqrt2$ , rotert $45^\circ$ . Prøv det i widgeten over.