Krystallgitter, basis og symmetri

Gitter og basis

En krystallstruktur beskrives i to steg som holdes fra hverandre.

Gitteret svarer på hvordan mønsteret gjentas, basisen på hva som gjentas. Legg merke til kravet om lik orientering, for det er det som avgjør testen under.

De primitive gittervektorene genererer punktene ( $\vec{R} = n_1\vec{a}_1 + n_2\vec{a}_2 + n_3\vec{a}_3$ ), og basisatomene oppgis relativt til gitterpunktet ( $\vec{r}_j = x_j\vec{a}_1 + y_j\vec{a}_2 + z_j\vec{a}_3$ ).

\displaystyle \vec{R} = n_1\vec{a}_1 + n_2\vec{a}_2 + n_3\vec{a}_3

Gittervektoren, der

n_i

er heltall. Mengden av alle slike

\vec R

er Bravais-gitteret.

Gitterpunktene er matematiske punkter. Atomene kommer fra basisen.

Skyv gitterets origo

Atomene står stille. Du flytter gitterets origo gjennom dem, og krysshårene viser gitterpunktene.

Gitterpunktet lander på et karbonatom, midt på en binding eller i et tomrom, alt etter hvor du legger origo. Alle tre beskriver samme krystall, og bare basiskoordinatene endrer seg.

Bravais-testen

Skriv ned omgivelseslista

Retning og avstand til hver nærmeste nabo. Antallet holder ikke.
Flytt deg uten å snu deg

Gå til en av de nærmeste naboene og skriv ned lista på nytt derfra.
Sammenlign

Er de to listene ulike, er mønsteret ikke et Bravais-gitter. Er de like, må du prøve de andre punkttypene også.
Bygg gitter og basis

Feiler testen, deler du punktene i klasser med like omgivelser. Én klasse er gitteret, ett punkt fra hver klasse er basisen.

Kjør den på honeycomb-nettet i grafén. Fra et A-atom ligger tre naboer i retningene $90^\circ$ , $210^\circ$ og $330^\circ$ . Fra et B-atom, uten at du snur deg, ligger de i $270^\circ$ , $30^\circ$ og $150^\circ$ . Testen feiler på steg 3.

Gitter + basis

Krysshåret markerer gitterpunktet. Figuren starter på honeycomb-nettet; skyv forskyvningen mot 0.

Punktene flytter seg jevnt, men mønsteret er bare et Bravais-gitter når forskyvningen er nøyaktig null.

Eksamensoppgave Hvilken påstand om Bravais-gitre er feil?

Ordinær eksamen, mai 2023 (med løsningsforslag), oppgave 1

Which of these statements is incorrect regarding Bravais lattices?

Enhetsceller og pakning

En enhetscelle fyller rommet uten hull eller overlapp når den gjentas med alle $\vec R$ . To valg er i bruk.

Primitiv celle

Nøyaktig ett gitterpunkt.
Minst mulig volum, $V_c = \left|\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)\right|$ , uansett hvilke vektorer du velger.
Ofte skjev, og viser sjelden symmetrien.

Konvensjonell celle

Flere gitterpunkter (fcc: 4, bcc: 2).
Et helt antall primitive celler.
Valgt fordi den viser symmetrien, typisk en kube.

Du regner med den konvensjonelle. Den viser symmetrien, og det er kantlengden i den tabellene oppgir. Wigner–Seitz-cellen, alle punkter nærmere ett gitterpunkt enn noe annet, er både primitiv og symmetrisk, og den kommer tilbake som første Brillouin-sone.

Atomene deles med nabocellene, så tellingen følger hvor i cellen de sitter ( $N = N_\mathrm{i} + \dfrac{N_\mathrm{f}}{2} + \dfrac{N_\mathrm{k}}{4} + \dfrac{N_\mathrm{h}}{8}$ ). Forskyver du cellen litt, slipper du brøkene.

Regneeksempel atomer per celle og pakningsgrad for fcc

Hvor mange atomer hører til den konvensjonelle fcc-cellen, og hvor stor del av den fyller de?

Vis løsning Skjul løsning

Tell først opp atomene. $8 \times \tfrac18$ hjørner $+\ 6 \times \tfrac12$ flatesentre gir $N = 4$ .

Halve flatediagonalen er $0{,}707a$ og kanten $a$ , så kulene berører langs flatediagonalen. Den rommer fire radier, så $r = a\sqrt2/4$ ( $d_\text{fcc} = \dfrac{a}{\sqrt{2}}, \qquad r = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$ ).

Da følger pakningsgraden ( $f = \dfrac{N \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3}{V_\text{celle}}$ ).

$f = \dfrac{4 \cdot \tfrac43 \pi r^3}{a^3} = \dfrac{16\pi}{3}\left(\dfrac{\sqrt2}{4}\right)^3 = \dfrac{\pi\sqrt2}{6} \approx 0{,}74$

Svar

N = 4

f = \pi\sqrt2/6 \approx 0{,}74

I bcc berører kulene langs romdiagonalen ( $d_\text{bcc} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad r = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$ ), og resten er identisk.

Nøkkeltall for de kubiske gitrene. Høyere koordinasjonstall gir tettere pakking.
Struktur	Atomer per celle	Koordinasjonstall	Naboavstand	Pakningsgrad	Eksempler
Enkel kubisk (sc)	1	6	$a$	$0{,}524$	Po
Romsentrert (bcc)	2	8	$0{,}866a$	$0{,}680$	Li, Na
Flatesentrert (fcc)	4	12	$0{,}707a$	$0{,}740$	Al, Ca, Pb

Gitterkonstanten $a$ er kantlengden, og bare i enkel kubisk er den også naboavstanden. Koordinasjonstallet teller naboene til et atom.

Eksamensoppgave Gitterpunkter i BaTiO

_3

Ordinær eksamen, mai 2024 (med løsningsforslag), oppgave 10

In its cubic unit cell, BaTiO $_3$ (barium titanate) has barium atoms positioned at the 8 cell corners, a titanium atom in the middle, and oxygen atoms centered at each of the 6 faces.

Eksamensoppgave Volumet av den primitive cellen i fcc

Ordinær eksamen, mai 2025 (med løsningsforslag), oppgave 3

A face centered (fcc) unit cell has side length $a = 4.20$ Å.

De 5 gitrene i planet

De fem typene er fem områder i ett parameterrom: lengdene $|\vec a_1|$ og $|\vec a_2|$ og vinkelen $\varphi$ . Slå på «Sentrert» i hvert av dem.

2D-gitter

Ringene er sentreringspunkter, og de stiplede vektorene er de primitive i det sentrerte tilfellet.

De fem 2D-Bravais-gitrene, ordnet etter økende symmetri.
Gittertype	Betingelser
Skjevt (oblique)	$\|a_1\| \neq \|a_2\|,\ \varphi \neq 90^\circ$
Rektangulært	$\|a_1\| \neq \|a_2\|,\ \varphi = 90^\circ$
Sentrert rektangulært	som over, $+$ punkt i cellemidten
Kvadratisk	$\|a_1\| = \|a_2\|,\ \varphi = 90^\circ$
Heksagonalt	$\|a_1\| = \|a_2\|,\ \varphi = 120^\circ$

De 14 gitrene i rommet

Tre lengder og tre vinkler gir 7 krystallsystemer. Med sentreringene P, C, I, F og R blir det 14 gitre. En sentrering teller bare når den verken senker symmetrien eller kan erstattes av en mindre celle i samme system.

3D-gitter

Dra i cellen for å snu på den. Lengdene og vinklene låses der systemet krever det.

De 7 krystallsystemene. Alt som ikke står oppført, er fritt.
Krystallsystem	Betingelser	Sentreringer	Antall
Triklin	ingen	P	1
Monoklin	$\alpha = \gamma = 90^\circ$	P, C	2
Ortorombisk	alle vinkler $90^\circ$	P, C, I, F	4
Tetragonal	som ortorombisk, $a = b$	P, I	2
Trigonal	$a = b = c$ , like vinkler $< 120^\circ$ , $\neq 90^\circ$	R	1
Heksagonal	$a = b$ , $\alpha = \beta = 90^\circ$ , $\gamma = 120^\circ$	P	1
Kubisk	som ortorombisk, $a = b = c$	P, I, F	3

Et gitter hører til det systemet symmetrien tilsier, ikke det formen på den primitive cellen antyder. Fcc har en romboedrisk primitiv celle, men er kubisk.

Symmetri

En symmetrioperasjon fører krystallen tilbake til noe som ikke lar seg skille fra utgangspunktet. Speiling, inversjon og rotasjon lar minst ett punkt stå i ro. Translasjon krever et uendelig mønster og gjør stoffet krystallinsk.

Symmetri

Motivet er asymmetrisk begge veier, så speiling og $180^\circ$ -rotasjon gir ulike bilder.

De fire symmetrioperasjonene fra Kittel §1.2.
Operasjon	Symbol	Virkning
Translasjon	$\vec R$	Forskyvning med en gittervektor.
Speiling	$m$	Invarians om et plan, i 2D en linje.
Inversjon	$\bar 1$	$\vec r \to -\vec r$ om et senterpunkt.
Rotasjon	$n$	Rotasjon $360^\circ/n$ om en akse.

Translasjonssymmetrien begrenser hvilke rotasjoner som er mulige, og seks linjer er nok til å vise hvilke.

Teorem Krystallografisk begrensning #

La $\vec a$ være den korteste gittervektoren langs en gitterrekke, med punkter i $A = -\vec a$ , $O = \vec 0$ og $B = +\vec a$ . En $n$ -tellig akse gjennom $O$ betyr at $\theta = 2\pi/n$ avbilder gitteret på seg selv. Roter $A$ med $+\theta$ til $C$ og $B$ med $-\theta$ til $D$ . Begge er gitterpunkter i samme høyde over rekken, så $\vec D - \vec C = 2a\cos\theta\,\hat a$ er en gittervektor parallell med $\vec a$ . Enhver slik er $m\vec a$ med $m$ heltall, siden $\vec a$ er den korteste. Altså er $2\cos\theta = m$ , og $|2\cos\theta| \le 2$ gir $m \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ .

\displaystyle 2\cos\theta = m, \qquad m \in \mathbb{Z}

Den krystallografiske begrensningen, med

\theta = 2\pi/n

Fem heltall gir fem vinkler, altså $n = 1, 2, 3, 4$ og $6$ (krystallografisk begrensning, $2\cos\theta = m, \qquad m \in \mathbb{Z}$ ). En femtellig akse ville krevd $2\cos 72^\circ = 0{,}618$ , en gittervektor kortere enn den korteste. Et molekyl kan godt ha en slik akse; det er kravet om periodisk gjentakelse som utelukker den.

Sjekk deg selv

Et kvadratisk gitter får et ekstra punkt midt i hver celle. Hvilken av de fem 2D-gittertypene er resultatet?

Vis svar Skjul svar

Fortsatt kvadratisk. De nye primitive vektorene går til de to nærmeste sentreringspunktene, er like lange og står vinkelrett på hverandre. Resultatet er et kvadratisk gitter med side $a/\sqrt2$ , rotert $45^\circ$ .