Gittersvingninger og fononer

Læringsmål

Sette opp bevegelsesligningen for en atomkjede med fjærer mellom nærmeste naboer og utlede dispersjonsrelasjonen ( $\omega(k) = 2\sqrt{\dfrac{C}{M}}\,\left|\sin\dfrac{ka}{2}\right|$ ).
Forklare hvorfor bølgevektorer utenfor første Brillouin-sone ikke gir nye svingninger, og hva som skjer på sonegrensen.
Finne lydhastigheten fra grensen for lange bølger ( $v = \dfrac{\omega}{k} = a\sqrt{\dfrac{C}{M}}, \qquad v_g = \dfrac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk}$ ) og skille fasehastighet fra gruppehastighet.
Tegne de to grenene for en kjede med to atomtyper, gi frekvensene ved $k \to 0$ og $k = \pi/a$ , og forklare hva som skiller akustisk fra optisk gren.
Telle akustiske og optiske grener i en krystall med $s$ atomer i den primitive cellen.
Forklare hva et fonon er, hvorfor det er et boson, og hva krystallimpulsen $\hbar\vec k$ betyr.

Den harmoniske tilnærmingen

Atomene i en krystall står ikke stille. De svinger om likevektsposisjonene, og bindingene mellom dem virker som fjærer. Ta to naboatomer med parpotensialet $U(r)$ , for eksempel Lennard-Jones-potensialet. Rundt minimum i $r = a$ er

U(r) \approx U(a) + \tfrac12 U''(a)\,(r - a)^2

Det lineære leddet er null, for $U'(a) = 0$ i likevekt. Kraften er $F = -\mathrm dU/\mathrm dr = -C(r - a)$ med $C = U''(a)$ , altså Hookes lov. En krystall der alle kreftene følger Hookes lov, er et harmonisk gitter, og tilnærmingen holder så lenge utsvingene er små mot $a$ . Kraftkonstanten $C$ er krumningen i bunnen av brønnen. Stive bindinger gir stor $C$ .

Bølger på et gitter

En bølge i et kontinuerlig medium, som lys i glass, er definert overalt: $\psi = Ae^{ikx}$ . En bølge i gitteret er bare definert der atomene står, i $x_n = na$ :

u_n = A\,e^{ikna}

Så lenge $\lambda \gg a$ merker bølgen ikke at gitteret er diskret, og krystallen oppfører seg som et kontinuum. Men den korteste bølgelengden som gir et nytt mønster, er $\lambda = 2a$ : annethvert atom opp, annethvert ned. En bølge med $\lambda = 2a/3$ treffer nøyaktig de samme atomene med nøyaktig de samme utsvingene, så det er samme svingning. Generelt gir $k$ og $k + 2\pi/a$ samme $u_n$ for alle $n$ , fordi $e^{i(2\pi/a)na} = 1$ . Alle svingningene i kjeden er derfor beskrevet av $k$ i intervallet

-\frac{\pi}{a} < k \le \frac{\pi}{a}

som er første Brillouin-sone i én dimensjon.

Kjede med én atomtype

Kjeden har atomer med masse $M$ i avstand $a$ , fjærer med kraftkonstant $C$ mellom nærmeste naboer, og atom $n$ har utsvinget $u_n$ fra likevekt. Fjæren til høyre drar med $C(u_{n+1} - u_n)$ , fjæren til venstre med $-C(u_n - u_{n-1})$ , så Newtons andre lov for atom $n$ er

M\ddot u_n = C\,(u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n)

Prøv en løpende bølge $u_n = u\,e^{i(kna - \omega t)}$ . Da er $\ddot u_n = -\omega^2 u_n$ og $u_{n \pm 1} = u_n e^{\pm ika}$ :

\begin{aligned} -M\omega^2 &= C\left(e^{ika} + e^{-ika} - 2\right) \\ &= -2C\,(1 - \cos ka) \\ \omega^2 &= \frac{2C}{M}\,(1 - \cos ka) = \frac{4C}{M}\sin^2\frac{ka}{2} \end{aligned}

\displaystyle \omega(k) = 2\sqrt{\frac{C}{M}}\,\left|\sin\frac{ka}{2}\right|

Dispersjonsrelasjonen for en kjede med én atomtype.

\omega

er periodisk i

k

med periode

2\pi/a

og har maksimum

2\sqrt{C/M}

på sonegrensen.

Sammenhengen mellom $\omega$ og $k$ er dispersjonsrelasjonen, og den er hele innholdet i modellen. Den har to grenser som er verdt å kjenne.

For lange bølger, $ka \ll 1$ , er $\sin(ka/2) \approx ka/2$ og $\omega \approx a\sqrt{C/M}\;k$ . Frekvensen er proporsjonal med $k$ , som for lyd, og det er lydbølger dette er. Hastigheten

\displaystyle v = \frac{\omega}{k} = a\sqrt{\frac{C}{M}}

Lydhastigheten i kjeden, fra grensen

ka \ll 1

. Her er fasehastigheten

\omega/k

og gruppehastigheten

\mathrm d\omega/\mathrm dk

like, så en bølgepakke beholder formen.

er lydhastigheten. Et signal beveger seg med gruppehastigheten $v_g = \mathrm d\omega/\mathrm dk$ , og for lange bølger er den lik fasehastigheten $\omega/k$ .

På sonegrensen, $k = \pi/a$ , er $\lambda = 2a$ og $\omega = 2\sqrt{C/M}$ . Gruppehastigheten er

v_g = \frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk} = a\sqrt{\frac{C}{M}}\,\cos\frac{ka}{2} = 0

Bølgen står stille. Utsvinget er $u_n = u\,e^{i\pi n} = (-1)^n u$ , naboatomer svinger i motfase, og det er en stående bølge. Situasjonen er den samme som for diffraksjon: en bølge med $\vec k$ på sonegrensen oppfyller Bragg-betingelsen og reflekteres av gitteret, og summen av innfallende og reflektert bølge står stille. Ingen energi transporteres.

Eksamensoppgave Hastighetene på sonegrensen

Ordinær eksamen, mai 2024 (med løsningsforslag), oppgave 21

Given a 1D chain with lattice spacing

a

. For wave vector

k

approaching

-\pi/a

, the group velocity

v_g

and the phase velocity

v

of phonons will generally - (complete the sentence)

Regneeksempel kobberkjeden

En kjede av kobberatomer har $M = 63{,}5$ u, $a = 3{,}6$ Å og $C = 50$ N/m. Finn lydhastigheten, den høyeste frekvensen kjeden kan svinge med, og energien $\hbar\omega_\text{maks}$ .

Vis løsning Skjul løsning

Massen er $M = 63{,}5 \cdot 1{,}66 \cdot 10^{-27}$ kg $= 1{,}05 \cdot 10^{-25}$ kg, så

\begin{aligned} \sqrt{\frac{C}{M}} &= \sqrt{\frac{50}{1{,}05 \cdot 10^{-25}}}\ \text{s}^{-1} \\ &= 2{,}18 \cdot 10^{13}\ \text{s}^{-1} \end{aligned}

Lydhastigheten:

\begin{aligned} v &= a\sqrt{\frac{C}{M}} \\ &= 3{,}6 \cdot 10^{-10} \cdot 2{,}18 \cdot 10^{13}\ \text{m/s} \\ &= 7{,}8\ \text{km/s} \end{aligned}

Den høyeste frekvensen er på sonegrensen:

\begin{aligned} \omega_\text{maks} &= 2\sqrt{\frac{C}{M}} = 4{,}4 \cdot 10^{13}\ \text{rad/s} \\ \hbar\omega_\text{maks} &= 1{,}05 \cdot 10^{-34} \cdot 4{,}4 \cdot 10^{13}\ \text{J} \\ &= 4{,}6 \cdot 10^{-21}\ \text{J} = 29\ \text{meV} \end{aligned}

Til sammenligning er $k_B T = 26$ meV ved romtemperatur.

Svar

v = 7{,}8

km/s,

\omega_\text{maks} = 4{,}4 \cdot 10^{13}

rad/s og

\hbar\omega_\text{maks} = 29

meV

Bølger på kjeden

Øverst svinger kjeden med den valgte $k$ , nederst er dispersjonsrelasjonen med første Brillouin-sone skravert. Utsvinget er tegnet på tvers for at det skal synes. Skyv $k$ forbi $\pi/a$ : bølgen med $k - 2\pi/a$ tegnes også, og den går gjennom de samme atomene til samme tid. På $k = \pi/a$ står bølgen stille. Med to atomtyper svinger de to atomene i fase i den akustiske grenen og i motfase i den optiske, og på sonegrensen står det ene undergitteret i ro.

Eksamensoppgave Gitterkonstanten fra lydhastigheten

Ordinær eksamen, mai 2022 (med løsningsforslag), oppgave 26

A monatomic linear chain has acoustic lattice vibrations with phase velocity $v_\mathrm p = 2200$ m/s, and the maximum frequency is $\omega_0 = 2 \cdot 10^{13}$ rad s $^{-1}$ .

Kjede med to atomtyper

La cellen ha to atomer, $M_1$ i $x = na$ og $M_2$ i $x = na + a/2$ , med $M_1 > M_2$ og samme kraftkonstant $C$ mellom alle naboer. Gitterkonstanten $a$ er nå avstanden mellom like atomer. Kall utsvingene $u_n$ og $v_n$ . Bevegelsesligningene er

\begin{aligned} M_1\ddot u_n &= C\,(v_n + v_{n-1} - 2u_n) \\ M_2\ddot v_n &= C\,(u_{n+1} + u_n - 2v_n) \end{aligned}

Prøv $u_n = u\,e^{i(nka - \omega t)}$ og $v_n = v\,e^{i(nka - \omega t)}$ med hver sin amplitude:

\begin{aligned} (2C - M_1\omega^2)\,u &= C\left(1 + e^{-ika}\right) v \\ (2C - M_2\omega^2)\,v &= C\left(1 + e^{ika}\right) u \end{aligned}

Ligningene har en løsning med $u, v \ne 0$ bare når determinanten er null: $(2C - M_1\omega^2)(2C - M_2\omega^2) = 2C^2(1 + \cos ka)$ . Det er en andregradsligning i $\omega^2$ , og den har to røtter.

\displaystyle \begin{aligned} &\omega^2 = C\frac{M_1 + M_2}{M_1 M_2}\times \\ &\bigl[1 \pm \sqrt{1 - \tfrac{4M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2}\sin^2\!\tfrac{ka}{2}}\bigr] \end{aligned}

Dispersjonsrelasjonen for en kjede med to atomtyper. Plusstegnet gir den optiske grenen, minustegnet den akustiske.

Dispersjonsrelasjonen har to grener. For lange bølger, $ka \ll 1$ , er

\begin{aligned} \omega^2 &\approx \frac{C\,k^2 a^2}{2(M_1 + M_2)} && \text{(akustisk)} \\ \omega^2 &= 2C\left(\frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2}\right) && \text{(optisk)} \end{aligned}

og på sonegrensen $k = \pi/a$ er

\begin{aligned} \omega^2 &= \frac{2C}{M_1} && \text{(akustisk)} \\ \omega^2 &= \frac{2C}{M_2} && \text{(optisk)} \end{aligned}

Den akustiske grenen går mot null som $\omega \propto k$ , og den er lyd, med lydhastigheten $a\sqrt{C/2(M_1 + M_2)}$ . Den optiske grenen starter på sin høyeste frekvens ved $k = 0$ og faller svakt mot sonegrensen. Mellom $\sqrt{2C/M_1}$ og $\sqrt{2C/M_2}$ er det et gap uten løsninger. En bølge med frekvens i gapet krever $\sin^2(ka/2) > 1$ , altså kompleks $k$ , og $e^{ikx}$ dempes eksponentielt. Krystallen slipper ikke slike bølger gjennom.

Amplitudeforholdet skiller grenene. Sett $k \to 0$ inn i den første ligningen. I den akustiske grenen er $\omega \to 0$ og $2Cu = 2Cv$ , så $u = v$ : de to atomene svinger i fase, og hele cellen flytter seg under ett. I den optiske grenen gir $\omega^2 = 2C(1/M_1 + 1/M_2)$

-\frac{2CM_1}{M_2}\,u = 2C\,v \quad\Rightarrow\quad \frac{u}{v} = -\frac{M_2}{M_1}

De to atomene svinger i motfase, og $M_1 u + M_2 v = 0$ sier at massesenteret i cellen står i ro. I en ionekrystall som NaCl har de to undergitrene motsatt ladning, så den optiske svingningen er et oscillerende dipolmoment. Den kobler til lys. Frekvensen $\sqrt{2C(1/M_1 + 1/M_2)}$ ligger i det infrarøde, og navnet optisk kommer derfra. Lysets dispersjonsrelasjon $\omega = ck/n$ er så bratt at den krysser den optiske grenen praktisk talt ved $k = 0$ : et foton med $\hbar\omega = 30$ meV har $k \approx 10^5$ m $^{-1}$ , mens sonegrensen ligger ved $10^{10}$ m $^{-1}$ . Lys eksiterer derfor bare optiske fononer med $k \approx 0$ .

På sonegrensen står begge grenene stille. I den akustiske grenen, $\omega^2 = 2C/M_1$ , gir den andre ligningen $v = 0$ : de lette atomene står i ro og de tunge svinger. I den optiske grenen er det omvendt, $u = 0$ . Setter du $M_1 = M_2$ , lukker gapet seg, og de to grenene er kurven for én atomtype brettet inn i den halvparten så store sonen, for den virkelige gitterkonstanten er da $a/2$ .

Tre dimensjoner

Kjeden beskriver én polarisasjon. I tre dimensjoner har hver bølgevektor $\vec k$ tre: én longitudinal, med utsving langs $\vec k$ , og to transversale, med utsving på tvers. Hver har sin egen dispersjonsrelasjon, og den longitudinale ligger vanligvis høyest, for det koster mer å presse atomene sammen enn å skyve dem sidelengs. Med $s$ atomer i den primitive cellen får hver polarisasjon én akustisk gren og $s - 1$ optiske. Krystallen har derfor 3 akustiske og $3s - 3$ optiske grener, $3s$ i alt, som forkortes LA, TA, LO og TO. Kobber har ett atom i den primitive cellen og bare tre akustiske grener. Silisium, diamant og NaCl har to atomer og tre optiske grener i tillegg. Jern er bcc med to atomer i den konvensjonelle kuben, men ett i den primitive cellen, og har ingen optiske grener.

Lyd i luft er bare longitudinal, for en gass tåler ikke skjærkrefter. Lyd i et fast stoff har én longitudinal og to transversale bølger, med hver sin hastighet.

Eksamensoppgave Fononer og grener

Ordinær eksamen, mai 2018 (med løsningsforslag), oppgave Introductory questions e

What is a phonon? What is the difference between optical and acoustical phonons? How many acoustical and how many optical phonon branches can be found in a cubic crystal with two atoms in the basis?

Vis løsning Skjul løsning

Et fonon er ett kvant $\hbar\omega(k)$ av en gittersvingning med bølgevektor $k$ , på samme måte som et foton er et kvant av det elektromagnetiske feltet.

I den akustiske grenen svinger atomene i cellen i fase, og $\omega \to 0$ når $k \to 0$ : for lange bølger er dette lyd med $\omega = vk$ . I den optiske grenen svinger atomene i cellen i motfase med massesenteret i ro, og $\omega$ er endelig ved $k = 0$ . I en ionekrystall gir motfasen et oscillerende dipolmoment, så grenen kobler til lys.

Med $s = 2$ atomer i basis og tre polarisasjoner er det $3$ akustiske og $3s - 3 = 3$ optiske grener.

Svar

Kvantet av en gittersvingning; akustisk gren i fase med

\omega \to 0

, optisk gren i motfase med endelig

\omega

; 3 akustiske og 3 optiske grener.

Fononer

Energien til en harmonisk oscillator er kvantisert, $E = (n + \tfrac12)\hbar\omega$ med heltallig $n$ . Gittersvingningene er også kvantisert. En kjede av $N$ atomer med én atomtype kan skrives om til $N$ uavhengige harmoniske oscillatorer, én for hver tillatt $k$ , og hver av dem involverer alle atomene i kjeden. Energien i svingningen med bølgevektor $k$ er

\displaystyle E_n(k) = \left(n + \tfrac12\right)\hbar\omega(k)

Energien i svingningen med bølgevektor

k

n

er antall fononer i den, og

\omega(k)

er dispersjonsrelasjonen fra den klassiske regningen. Leddet

\tfrac12\hbar\omega

er nullpunktsenergien.

Ett kvant $\hbar\omega(k)$ er et fonon. Tallet $n$ er antall fononer i svingningen, og det kan være så stort det vil: fononer er bosoner, som fotoner, og følger Bose-Einstein-statistikk. Pauli-prinsippet gjelder ikke. Dispersjonsrelasjonen $\omega(k)$ er den samme som den klassiske regningen ga, så alt som står over om grener, gruppehastighet og sonegrensen, gjelder fononene.

Et fonon oppfører seg i støt med fotoner, nøytroner og elektroner som om det har impulsen

\displaystyle \vec p = \hbar\vec k

Krystallimpulsen til et fonon. Den inngår i bevaringslovene ved spredning, men den fysiske impulsen til en gittersvingning med

k \ne 0

er null, for atomene beveger seg bare i forhold til hverandre.

Den kalles krystallimpuls. Den fysiske impulsen er null, for i en svingning med $k \ne 0$ beveger atomene seg bare i forhold til hverandre:

\sum_n M u_n = Mu\sum_n e^{ikna} = 0

Fononene bestemmer varmekapasiteten og varmeledningsevnen til faste stoffer, og de formidler tiltrekningen mellom elektroner i en superleder.

Sjekk deg selv

Kjeden med to atomtyper har $M_1 = 2M_2$ . Hvor mye høyere er den optiske frekvensen ved $k = 0$ enn den akustiske på sonegrensen?

Vis svar Skjul svar

Den optiske frekvensen ved $k = 0$ og den akustiske på sonegrensen er

\begin{aligned} \omega_\text{op}^2(0) &= 2C\left(\frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2}\right) = \frac{3C}{M_2} \\ \omega_\text{ak}^2(\pi/a) &= \frac{2C}{M_1} = \frac{C}{M_2} \end{aligned}

Forholdet er

\frac{\omega_\text{op}(0)}{\omega_\text{ak}(\pi/a)} = \sqrt{\frac{3C/M_2}{C/M_2}} = \sqrt3 = 1{,}73

Gapet ligger mellom $\sqrt{C/M_2}$ og $\sqrt{2C/M_2}$ , den optiske grenen på sonegrensen.

Hovedpunkter

Rundt likevekt er parpotensialet en parabel, kreftene følger Hookes lov med $C = U''(a)$ , og gitteret er harmonisk.
En bølge på et gitter er bare definert på atomene. $k$ og $k + 2\pi/a$ gir samme svingning, så alt ligger i første Brillouin-sone, $-\pi/a < k \le \pi/a$ , og den korteste bølgelengden er $2a$ .
Kjeden med én atomtype har $\omega = 2\sqrt{C/M}\,|\sin(ka/2)|$ . For lange bølger er $\omega = vk$ med lydhastigheten $v = a\sqrt{C/M}$ ; på sonegrensen er $v_g = 0$ og bølgen står stille.
Kjeden med to atomtyper har en akustisk gren, der atomene svinger i fase og $\omega \to 0$ , og en optisk gren, der de svinger i motfase med $u/v = -M_2/M_1$ og $\omega^2 = 2C(1/M_1 + 1/M_2)$ ved $k = 0$ . Mellom $\sqrt{2C/M_1}$ og $\sqrt{2C/M_2}$ er det et gap.
I tre dimensjoner har hver $\vec k$ tre polarisasjoner, og $s$ atomer i den primitive cellen gir 3 akustiske og $3s - 3$ optiske grener.
Et fonon er kvantet $\hbar\omega(k)$ av en gittersvingning, $E_n = (n + \tfrac12)\hbar\omega$ . Fononer er bosoner og bærer krystallimpulsen $\hbar\vec k$ , mens den fysiske impulsen er null.